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2023 是质数吗?

好文分享2023-12-05 12:30:02
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毫无疑问,2023 是一个非常有意思的数。

首先, 2023 显然不是质数,判断仅需 1 秒。最快的判别方法是:先把 2023 按照千分位分割,分为 2 和 023,然后相减,23 – 2 = 21, 21 是 7 的倍数,所以 2023 是 7 的倍数。

这种「每 3 位一分割,然后隔项求和,再相减」的判断方式,适用于判断所有 7,11, 13 的倍数。

证明也很容易:注意到 1001 = 7 × 11 × 13, 所以 1000a 和 -a 关于 7,11,13 同余。

比较有意思的是,2023 不仅不是质数,甚至都没有 20 以上的质因数。

我们将 2023 分解质因数,得到 2023 = 7 × 17 × 17

容易发现,2023 的数字和恰好是 7,而其数字的平方和恰好是 17。

这就有点意思了。请看:

一个数的「数字和以及「数字的平方和都是它的约数,这样的数常见吗?

其实还蛮常见啦,这样的四位数就有 68 个,下一个满足条件的数是 2040;

如果要求这两个数都是质数呢?

稍微罕见一些了,这样的四位数共有 10 个,下一个是 2100,但再下一个就是 8030 了。

更进一步地,如果一个数「数字和」是最小的质因数,「数字的平方和」是最大的质因数,这样的数多吗?

这就很罕见了,四位数仅此 1 个,五位数没有,下一个满足条件的数要到 106811 了;

花 5 分钟验证下,我们发现 1 亿以下满足条件的数似乎只有 28 个:

133, 803, 2023, 106811, 383177, 1071949, 1342027, 2025343, 2569757, 2911123, 3341831, 3993883, 6285901, 10860071, 11194319, 13270013, 21736109, 21871477, 22159451, 22421587, 26011229, 27600257, 31174391, 32656681, 34880611, 40435193, 41755573, 53738911
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